Laboratorio di Fisica Computazionale

Capitolo 8. Meccanica Quantistica

8.1 Pacchetto d'onda gaussiano

Mostrare graficamente l'allargamento di un pacchetto d'onda gaussiano che descrive il moto di una particella libera in una dimensione nel caso in cui il principio di Indeterminazione di Heisemberg è soddisfatto al minimo.

8.1.1 Formulazione del problema

Si consideri una particella libera di massa m il cui moto unidimensionale è descritto dalla funzione d'onda
			Ψ(x, t)=\(\@\(1\/\(2 \(\( πL\^2\)(1 + i \( ℏ\/\(2  mL\^2\)\) t)\)\^2\)\)\%4\)(e^(i((Subscript[k, 0]) 
                      x - (Subscript[ω, 0]) 
                      t)))\(e\^\(\(-\(1\/L\^2\)\) \((x - \(v\_gr\) t)\)\^2\/\((1 + i \( ℏ\/\(2  mL\^2\)\) t)\)\)\) 
dove L è l' 
            incertezza sulla posizione al tempo t=0. Inoltre (Subscript[k, 0])è il valore centrale del numero d'onda, mentre

          (Subscript[v, gr])=ℏ((Subscript[k, 0])/m)è la velocità di gruppo e  (Subscript[ω, 0])=((ℏ ((Subscript[k, 0])^2))/(2  m)).

\(La\ densità\ di\ probabilità\ della\ posizione, \ \(\(|\)\(Ψ(x, t)\)\( | \^2\)\(\ \)\(è\ data\ da\)\)\)
			P(x, t)=(Sqrt[(1/(2  π(L^2)(
                        1 + ((ℏ^2)/(4  (m^2) (L^4))) 
                            (t^2)))) ])  \(e\^\(\(-\(1\/\(2 
                           L\^2\)\)\) \((x - \(v\_gr\) t)\)\^2\/\((1 + \(ℏ\^2\/\(4 \( m\^2\) L\^4\)\) t\^2)\)\)\)
\(Questa\ espressione\ diventa\ più\ semplice\ se\ misuriamo\ x\ in\ unità\ di\ L\), t in unità di T = ((2  (mL^2))/ℏ) 
            e P(x, t), che ha le dimensioni dell' inverso di una distanza, in unità di A=(1/(Sqrt[2  π(L^2)]))e introducendo v=((2  mL)/ℏ)(Subscript[v, gr]):
			P(x, t)=(Sqrt[(1/(1 + (t^2)))]) (e^(-((((x - vt))^2)/(2 (1 + 
                                (t^2))))))
\(Da\ questa\ espressione\ si\ vede\ subito\ che\ \(Δx(t)\) = \(\(\@\(1 + t\^2\)\)\(.\)\)\)

8.1.2  Soluzione con Mathematica

ClearAll["Global`*"]

Il modo più semplice per far vedere l'allargamento del pacchetto è quello di riportare in un grafico la funzione Δx(t):

\(\(Plot[{Sqrt[1\  + \ t^2], \ t}, \ {t, \ 0, \ 
          6}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PlotRange\  -> \ {0, \ 
            6}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PlotStyle\  -> \ {{}, \ {Dashing[{0.02, \ 
                  0.02}]}}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ AxesLabel\  -> \ {" t (T)", \ " Δx (L)"}];\)\)

Un altro modo è quello di mostrare l'andamento di P(x,t) per vari valori di t. Poniamo v=1

p[x_,  
        t_]  :=  ((1/
              Sqrt[1  +  
                  t^2]) Exp[-((x  -  t)^2)/(2 (1  +  
                      t^2))])

Plot[Evaluate[Table[p[x, i], {i, 0, 3}]], {x, -4, 12},
     PlotStyle ->
		          {{Thickness[0.01]}, {},
		           {Dashing[{0.05, 0.05}]},
		           {Dashing[{0.01, 0.05, 0.01, 0.05}]}},
     PlotRange -> {0, 1},
     AxesLabel -> {" x (L)", " P(x,t) (A)"},
     Epilog ->	 
	           {Text["Allargamento di un\npacchetto d'onda gaussiano",
			               {6.8, 0.8}],
		           Text["t = 0", {2, 0.95}],
		           Text["t = T", {3.5, 0.6}],
		           Text["t = 2T", {5.2, 0.4}],
		           Text["t = 3T", {8, 0.24}]}
    ];

Questo è ancora un altro modo, usando il tempo come terza dimensione:

\(g[n_]\  := \ 
      ParametricPlot3D[{x, \ n, \ p[x, \ n]}, \ {x, \ \(-5.6\), \ 
          21}, 
			\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PlotPoints\  -> \ 
          100, 
			\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ DisplayFunction\  -> \ 
          Identity]\)

\(\(Show[
        Table[{g[
              i], 
		\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Graphics3D[{Dashing[{0.01, \ 
                    0.01}], 
		\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Line[{{\(-5.6\), \ i, \ 0}, \ {21, \ i, \ 
                      0}}]}]}, \ 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {i, \ 0, \ 
            7}], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PlotRange\  -> \ {{\(-5.6\), \ 
              21}, \ {0, \ 7}, \ {0, \ 
              1}}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ViewPoint -> {2.230, \ 2.323, \ 
            1.040}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ BoxRatios\  -> \ {1, \ 2, \ 
            0.5}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Boxed\  -> \ 
          False, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ AxesLabel\  -> \ {"x (L)", \ " t (T)", \ "P(x,t) (A)"}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Ticks\  -> \ {Automatic, \ 
            Automatic, \ {0, \ 
              1}}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ DisplayFunction\  -> \ $DisplayFunction
\ \ \ \ \ \ \ \ \ ];\)\)

Cambiando punto di visuale:

\(\(Show[%, \ BoxRatios\  -> \ {1, \ 1, \ 1}, \ 
        Boxed\  -> \ 
          True, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ViewPoint -> {0.017, \ 3.375, \ 0.245}];\)\)

Infine, sempre usando il tempo come terza dimensione, possiamo raffigurare con un Plot tri-dimensionale la superficie descritta dal pacchetto.

\(\(Plot3D[
        p[x, \ t], \ {x, \ \(-5\), \ 14}, \ {t, \ 0, \ 
          4}, 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PlotRange\  -> \ {0, \ 
            1}, 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ViewPoint -> {0.017, \ 
            3.375, \ 
            0.245}, 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ BoxRatios\  -> \ {1, \ 
            1, \ 1}, 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PlotPoints\  -> \ 
          45, 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ AxesLabel\  -> \ {"x (L)", \ " t (T)", \ "P(x,t) (A)"}, 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Ticks\  -> \ {Automatic, \ 
            Automatic, \ {0, \ 1}}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ];\)\)

ClearAll[p,  g]

8.1.3  Esercizio: Mostrare con un'animazione l'allargamento del pacchetto d'onda gaussiano.

8.2  Particella in una scatola unidimensionale

Determinare autovalori e autofunzioni per gli stati legati di una particella vincolata a muoversi su un segmento.

8.3.1 Formulazione del problema

Si consideri una particella libera di massa m che si muove nel potenziale unidimensionale
			V(x)={({{0  per  | x | <a}, {∞  per  | x | >a}})

\(L' 
        equazione\ di\ Schrödinger\ indipendente\ dal\ tempo\ per\ l' autofunzione\ ψ \((x)\)\ relativa\ all' autovalore\ E\ è\)
-((ℏ^2)/(2  m))(((d^2) ψ (x))/(dx^2))=E ψ (x)  
con le condizioni al contorno ψ(x) = 0 per |x|>a. In un sistema di unità di misura in cui m=1, a = 1, ℏ = 1, le sue soluzioni sono
	\(\(\(ϕ\^\((+)\)\)\_n\) \((x)\) = \(cos\ \((n - 
                1\/2)\) πx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ corrispondente\ all' autovalore\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(E\^\((+)\)\)\_n = \(\(\((n - 1\/2)\)\^2\) π\^2\)\/2\)\)
	\(\(\(ϕ\^\((-)\)\)\_n\) \((x)\) = \(sin\ nπx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ corrispondente\ all' 
            autovalore\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(E\^\((-)\)\)\_n = \(\(n\^2\) π\^2\)\/2\)\)
per tutti gli n interi positivi . 
La funzione d'onda di una particella può essere espressa dallo sviluppo in autofunzioni
	\(Ψ \((x, 
            t)\) = ∑\+\(n = 1\)\%∞\([\(\(c\^\((+)\)\)\_n\) \((x)\) \(\(ϕ\^\((+)\)\)\_n\) \((x)\)\ e\^\(\(-\(iE\^\((+)\)\)\_n\)\ t\) + \(\(c\^\((-)\)\)\_n\) \((x)\) \(\(ϕ\^\((-)\)\)\_n\) \((x)\)\ e\^\(\(-\(iE\^\((-)\)\)\_n\)\ t\)]\)\)
con
	\(\(\(c\^\((±)\)\)\_n\) \((x)\) = ∫\_\(-1\)\%1\(\( ϕ\^\(\((±)\)\(*\)\)\)\_n\) \((x)\) Ψ \((x, 
              0)\) dx . 
Consideriamo\ il\ \ caso\ in\ cui\ Ψ \((x, 
              0)\)\ sia\ una\ funzione\ gaussiana\ della\ forma\)
	\(Ψ \((x, 
            0)\) = \(\((1\/\(2  πL\^2\))\)\^\(1\/4\)\) \(e\^\(\(ik\_0\) 
                x\)\) e\^\(-\(x\^2\/\(4  L\^2\)\)\)\)
\(dove\ l' ampiezza\ L\ e\ il\ numero\ d' 
      onda\ k\_0\ sono\ misurati\ in\ unità\ di\ a\ e\ di\ 1/
        a\ rispettivamente . 
In\ effetti\ una\ funzione\ gaussiana\ non\ può\ essere\ una\ funzione\ d' onda, \ 
    poichè\ non\ soddisfa\ le\ condizioni\ al\ contorno . 
Tuttavia\ se\ l' 
      ampiezza\ L\ è\ abbastanza\ piccola\ rispetto\ alla\ dimensione\ della\ buca, \ 
    valutando\ un\ numero\ limitato\ di\ coefficienti\ \(\(c\^\((±)\)\)\_n\) \((x)\), \ 
    quelli\ ad\ esempio\ maggiori\ di\ 10\^\(-2\), \ 
    avremo\ un\ funzione\ che\ approssima\ ragionevolmente\ la\ gaussiana\ e\ soddisfa\ le\ condizioni\ al\ contorno . 
Riscriviamo\ la\ funzione\ d' 
      onda\ Ψ \((x, 0)\)\ nella\ forma\)
	Ψ (x, 
            0) = (Ψ^((+))) (x, 
              0) + i (Ψ^((-))) (x, 
              0)
con
	(Ψ^((+))) (x, 
            0) = ((((1/(2  π(L^2)))))^((1/4))) cos (Subscript[k, 0]) 
          x (e^(-((x^2)/(4  (L^2)))))
	(Ψ^((-))) (x, 
            0) = ((((1/(2  π(L^2)))))^((1/4))) sin (Subscript[k, 0]) 
          x (e^(-((x^2)/(4  (L^2)))))
\(e\ notiamo\ che\ \(\(ϕ\^\((+)\)\)\_n\) \((x)\)\ e\ \(Ψ\^\((+)\)\) \((x, 0)\) sono\ funzioni\ pari\ di\ x, \ 
    mentre\ \(\(ϕ\^\((-)\)\)\_n\) \((x)\)\ e\ \(Ψ\^\((-)\)\) \((x, 0)\)\ sono\ funzioni\ dispari, \ ricaviamo\)
	\(\(\(c\^\((+)\)\)\_n\) \((x)\) = ∫\_\(-1\)\%1\(\( ϕ\^\(\((+)\)\(*\)\)\)\_n\) \((x)\) \(Ψ\^\((+)\)\) \((x, 
              0)\) dx\)
	\(\(\(c\^\((-)\)\)\_n\) \((x)\) = ∫\_\(-1\)\%1\(\( ϕ\^\(\((-)\)\(*\)\)\)\_n\) \((x)\) \(Ψ\^\((-)\)\) \((x, 
              0)\) dx\)
Infine,  
    ad ogni istante t potremo esplorare l' 
      evoluzione della funzione d' 
      onda studiando la densità di probabilità
		\(P \((x, t)\) = \(Ψ\^*\) \((x, 
            t)\)\ Ψ \(\((x, 
              t)\)\(.\)\(
\)\)\)

8.2.2  Soluzione con Mathematica

ClearAll["Global`*"]

8.2.2.1  Definizione della procedura

Definiamo una procedura che genera la grafica necessaria ad animare l'evoluzione temporale della densità di probabilità.
Gli argomenti della funzione  sono
({{\(\(●\)\(\ \)\(l'\) \(ampiezza\)\(\ \)\(della\)\(\ \)\(gaussiana\)\(\ \)\(ristretta\)\(\ \)\(all'\) \(intervallo\)\(\ \)\((1\/8, 1\/4)\)\(\ \ \ \ \ \)\)}, {\(\(●\)\(\ \)\(il\)\(\ \)\(numero\)\(\ \)\(d'\) \(onda\)\(\ \)\(k\_0\) \(ristretto\)\(\ \)\(all'\) \(intervallo\)\(\ \)\((15, 30)\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\)}, {\(●\ il\ numero\ di\ grafici\ che\ vogliamo\ generare\ per\ l' animazione\)}, {\(\(●\)\(\ \)\(le\)\(\ \)\(eventuali\)\(\ \)\(opzioni\)\(\ \)\(che\)\(\ \)\(vogliamo\)\(\ \)\(passare\)\(\ \)\(alla\)\(\ \)\(funzione\)\(\ \)\(Plot\)\(\ \)\)}})
La seconda condizione fa in modo che contribuiscano alla funzione d'onda un numero finito ma limitato di autofunzioni, quelle, cioè, con energia prossima a (((ℏ^2) ((Subscript[k, 0])^2))/(2  m))

\(particle[
        L_\  /; \ L ≥ 1\/8\  ∧ \ 
            L ≤ 1\/4, 
k0_\  /; \ 
          k0 ≥ 15\  ∧ \ 
            k0 ≤ 30, 
m_Integer?
          Positive, 
opts___]\  := 
	
      Module[{SuperPlus, \ SuperMinus, \ Ψ, \ SuperStar, \ 
          P}, 				
	 (*\ 
          calcoliamo\ i\ coefficienti\ \(c\^\((±)\)\)\_n\ trascurando\ quelli\ inferiori\ a\ 10\^\(-2\), \ determiniamo, \ 
          cioè\ un\ set\ di\ coefficienti\ tali\ da\ ottenere\ una\ ragionevole\ approssimazione\ \ della\ funzione\ d' 
            onda\ alla\ gaussiana\ che\ soddisfi\ le\ condizioni\ al\ contorno\ *) 
		\ \ \ \ \ \ \(c\_n_\%+\)\  := \ \(\(c\_n\%+\)\  = \ 
				\ \ \ \ Chop[
              2\ NIntegrate[
                  Evaluate[\(ϕ\_n\%+\)[x]\ \(Ψ\^+\)[x] // 
                      N], \ {x, \ 0, \ 1}], \ 
              10\^\(-2\)]\); 
		\ \ \ \ \ \ \(c\_n_\%-\)\  := \ \(\(c\_n\%-\)\  = 
				\ \ \ \ Chop[
              2  I\ NIntegrate[
                  Evaluate[\(ϕ\_n\%-\)[x]\ \(Ψ\^-\)[x] // 
                      N], \ {x, \ 0, \ 1}], \ 
              10\^\(-2\)]\); 
		\ \ \ \ \ \ \(Ψ\^+\)[
            x_]\  := \ \((1\/\(2  π\ L\^2\))\)\^\(1/4\)\ Cos[
              k0\ x]\ Exp[\(-\(x\^2\/\(4 
                       L\^2\)\)\)]; 
		\ \ \ \ \ \ \(Ψ\^-\)[
            x_]\  := \ \((1\/\(2  π\ L\^2\))\)\^\(1/4\)\ Sin[
              k0\ x]\ Exp[\(-\(x\^2\/\(4 
                       L\^2\)\)\)]; 
		\ \ \ \ \ \ \(ϕ\_n_\%+\)[
            x_]\  := \ Cos[\((n\  - \ 
                  1/2)\)\ π\ x]; 
		\ \ \ \ \ \ \(ϕ\_n_\%-\)[
            x_]\  := Sin[n\ \ π\ x]; 
			
			\ \ \  (*\ 
          definiamo\ la\ funzione\ d' 
            onda\ e\ la\ sua\ complessa\ coniugata\ *) 
		\ \ \ \ \ \ Ψ[x_, \ 
            t_]\  := \ ∑\+\(n = 1\)\%14\ \((\(c\_n\%+\)\ \(ϕ\_n\%+\)[
                    x]\ Exp[\(-I\)\ \(e\_n\%+\)\ t]\  + \ \(c\_n\%-\)\ \(ϕ\_n\%-\)[
                    x]\ Exp[\(-I\)\ \(e\_n\%-\)\ t])\); 
		\ \ \ \ \ \ \(e\_n_\%+\)\  := \ \(\((n\  - \ 1/2)\)\^2\ π\^2\)\/2; 
		\ \ \ \ \ \ \(e\_n_\%-\)\  := \ \(n\^2\ π\^2\)\/2; 
		\ \ \ \ \ \ \(Ψ\^*\)[x_, \ 
            t_]\  := \ \((Ψ[x, \ t]\  /. \ 
              Complex[p_, \ q_]\  -> \ 
                Complex[p, \ \(-q\)])\); 
			
			\ \ \  (*\ 
          definiamo\ la\ densità\ di\ probabilità\ *) 
		\ \ \ \ \ \ P[x_, \ 
            t_]\  := \ \(\(Ψ[x, \ t]\ \(Ψ\^*\)[x, \ 
                    t]\  // N\) // Expand\) // 
            Chop; 
			
			\ \ \  (*\ 
          generiamo\ la\ grafica\ per\ l' animazione\ *) 
		\ \ \ \ \ \ Do[
          Plot[Evaluate[P[x, \ \(2  i\)\/\(5  k0\)]], \ {x, \ \(-1\), \ 
              1}, 
opts, 
Ticks\  -> \ {{\(-1\), \ 0, \ 1}, \ 
                None}, 
AxesLabel\  -> \ {" x (a)", \ "P(x, t)"}, 
PlotRange\  -> \ {0, \ 
                6}, 
Prolog\  -> \ {Line[{{1, \ 0}, \ {1, \ 
                      6}}], Line[{{\(-1\), \ 0}, \ {\(-1\), \ 
                      6}}]}
			], {i, \ 0, \ 
            m\  - \ 1}
		]
]\)

8.2.2.2  Grafica

La densità di probabilità ritorna uguale a quella a t=0 dopo un tempo pari a T=((2  π)/((Subscript[E, 1])^((+)))) = 
        (16/π) ∼ 5, nelle nostre unità di misura. Possiamo vederlo, anche se non tutti i calcolatori sopportano un tale numero di immagini, ponendo m=250, in modo che ((2  m)/(5  (Subscript[k, 0])))=5 per (Subscript[k, 0])=20.

Timing[particle[1/4, 20, 250]]

ClearAll[particle]

8.3 La buca quadrata

Determinare autovalori e autofunzioni per gli stati legati di una particella in un pozzo quadrato di potenziale.

8.3.1 Formulazione del problema

Si consideri una particella libera di massa m che si muove in una buca di potenziale unidimensionale
			V(x)={({{0  per  | x | >a}, {-(Subscript[V, 0])  per  | x | <a}}) 
con (Subscript[V, 0])>0.

v[x_]  :=  If[Abs[x] >=  1,  0,  -1]
\(\(Plot[v[x], \ {x, \ \(-2\), \ 2}, \ 
        PlotStyle\  -> \ 
          Thickness[
            0.01], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ AxesLabel\  -> \ {" x", \ "v"}];\)\)

L' 
        equazione di d  
          i Schrödinger indipendente dal tempo è
-((ℏ^2)/(2  m))(((d^2) ψ (x))/(dx^2))+V (x) ψ (x)=E ψ (x)
dove ψ (x) è l' 
            autofunzione relativa all' autovalore E .   E < 0,poichè si vogliono gli stati legati.
Introduciamo le grandezze
\(k = \@\(2  m | E | \)\/ℏ\ ; \ 
    q = \@\(2  m \((V\_0 - E)\)\)\/ℏ\ ; \ λ = \(2 \( mV\_0\) a\^2\)\/ℏ\^2\ ; \ \ y = 
      qa\)
\(in\ termini\ delle\ quali\ possiamo\ scrivere\)
E = -(1 - ((y^2)/λ)) 
        (Subscript[V, 0]) ;  k = ((Sqrt[λ - (y^2)])/a)
A causa della simmetria del potenziale l'equazione di Schrödinger ha due classi di soluzioni che sono limitate all'infinito.
Consideriamo prima le soluzioni pari : 
ψ (x)={({{B(e^kx), per x < -a}, {A cos qx, per  - a < x < a}, {B(e^(-kx)), per x > a}})
Imponiamo la continuità delle autofunzioni e delle loro derivate prime nel punto x=\(a\ \((o\ x = \(-a\))\)

            			B = \(A\ cos\ qa\ e\^ka

              			k = q\ tan\ qa

              L' ultima\ equazione\)\), che fornisce gli autovalori dell' energia, in termini di λ e y diventa
			({{((Sqrt[λ - (y^2)])/y) =  tan y}})
Le equazioni corrispondenti per le soluzioni dispari sono
ψ(x)={({{D(e^kx), per x < -a}, {C sin qx, per  - a < x < a}, {-D(e^(-kx)), per x > a}})
			D=\(\(-C\)\ sin\ qa\ e\^ka

                  			k\)=-q cot qa

		({{((Sqrt[λ - (y^2)])/y) =  -cot y}})

8.3.2  Soluzione con Mathematica

Notiamo che le due equazioni che danno gli autovalori contengono un unico parametro λ che dipende da tutti i parametri fisici del problema. Prendiamo per esso un valore arbitrario.

ClearAll["Global`*"]

lambda  =  16;

Vediamo prima le soluzioni pari. Dal grafico dei due membri dell'equazione che dà gli autovalori vediamo che in questo caso vi sono due soluzioni.

\(\(Plot[{Sqrt[lambda\  - \ y^2]/y, \ Tan[y]}, \ {y, \ 0, \ 
          4}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PlotRange\  -> \ {0, \ 
            5}];\)\)

Possiamo trovare una soluzione approssimata con il mouse (GetGraphicsCoordinates) da usare come punto di partenza per FindRoot

y[1]  =  
      y  /.  FindRoot[
          Sqrt[lambda  -  y^2]/y  ==  Tan[y],  {y,  
            1.25524}]

y[3]  =  
      y  /.  FindRoot[
          Sqrt[lambda  -  y^2]/y  ==  Tan[y],  {y,  
            3.60764}]

Per le autofunzioni dispari possiamo ripetere il procedimento. In questo caso troviamo una sola soluzione.

\(\(Plot[{Sqrt[lambda\  - \ y^2]/y, \ \(-Cot[y]\)}, \ {y, \ 0, \ 
          4}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PlotRange\  -> \ {0, \ 
            5}];\)\)

y[2]  =  
      y  /.  FindRoot[
          Sqrt[lambda  -  y^2]/y  ==  -Cot[y],  {y,  
            2.44496}]

Complessivamente, per questo valore di λ abbiamo quindi i tre autovalori

energy[n_]  :=  -(1  -  (y[n]^2)/lambda) V0

V[x_  /;  Abs[x]  >  1]  :=  0
V[x_  /;  Abs[x]  <  1]  :=  -1
\(\(Plot[
        V[x], \ {x, \ \(-2\), \ 
          2}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PlotStyle\  -> \ 
          Thickness[
            0.0125], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PlotRange\  -> \ {0.05, \ \(-1.05\)}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Axes\  -> \ 
          False, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Ticks\  -> \ {None, \ 
            Automatic}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ DefaultFont\  -> \ {"Courier", \ 
            9}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Epilog\  -> 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(({Line[{{1, \ energy[1]}, \ {\(-1\), \ 
                      energy[1]}}], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Text["E1", \ {1.25, \ 
                    energy[1]}], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Text[
                  ToString[energy[1]], \ {0, \ 
                    energy[1]\  + \ 
                      0.055}], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Line[{{1, \ energy[2]}, \ {\(-1\), \ 
                      energy[2]}}], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Text["E2", \ {1.25, \ 
                    energy[2]}], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Text[
                  ToString[energy[2]], \ {0, \ 
                    energy[2]\  + \ 
                      0.055}], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Line[{{1, \ energy[3]}, \ {\(-1\), \ 
                      energy[3]}}], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Text[ToString[energy[3]], \ {0, \ 
                    energy[3]\  + \ 
                      0.055}], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Text["E3", \ {1.25, \ 
                    energy[3]}], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Text["-V0", \ {\(-1.25\), \ \(-1\)}], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Text["0", \ {\(-0.85\), \ 0}]}\  /. \ 
              V0\  -> \ 1)\)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ];\)\)

\(eigenfunctionPlot[y_, \ 
        u_]\  := 
	\ \ \ \ \ Module[{normalizationConstant, \ 
          normalizedu, \ energy}, 

	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  (*\ 
          nel\ nostro\ caso\ a = 1\ *) 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q\  = \ 
          y; 

	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  (*\ 
          da\ λ\ e\ y\ ricaviamo\ k\ *) 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k\  = \ Sqrt[lambda\  - \ y^2]; 

	\ \ \ \ \ \ \ \ \  (*\ 
          normalizziamo\ l' 
            autofunzione\ *) 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ normalizationConstant\  = \ 1/Sqrt[
		\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ NIntegrate[\((u[
                      x])\)^2, \ {x, \ \(-Infinity\), \ 
                  Infinity}]
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ]; 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ normalizedu[
            x_]\  = \ normalizationConstant\ u[x]; 

	\ \ \ \ \ \ \ \  (*\ 
          ricaviamo\ l' 
            energia\ *) 
	\ \ \ \ \ \ \ \ energy\  = \ \(-\((1\  - \ \((y^2)\)/lambda)\)\) V0; 

	\ \ \ \ \ \ \ \  (*\ 
          plot\ dell' autofunzione\ *) 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ Plot[
          normalizedu[x], \ {x, \ \(-3\), \ 
            3}, 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Epilog\  -> \ {Line[{{1, \ \(-1\)}, \ {1, \ 
                    1}}], 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Line[{{\(-1\), \ \(-1\)}, \ {\(-1\), \ 1}}]}, 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Frame\  -> \ 
            True, 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ FrameLabel\  -> \ {"x (a)", \ "u(x) (1/Sqrt[a])"}, 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ PlotLabel\  -> \ "E = " <> 
              ToString[
                energy]
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ];
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ]\)

uEven[
        x_  /;  x  <  -1]  :=  (Cos[q] Exp[k]) Exp[
          k x]
uEven[x_  /;  Abs[x]  <=  1]  :=  Cos[q x]
uEven[
        x_  /;  x  >  
            1]  :=  (Cos[q] Exp[k]) Exp[-k x]
uOdd[
        x_  /;  x  <  -1]  :=  (-Sin[q] Exp[k]) Exp[
          k x]
uOdd[x_  /;  Abs[x]  <=  1]  :=  Sin[q x]
uOdd[
        x_  /;  x  >  
            1]  :=  (Sin[q] Exp[k]) Exp[-k x]
u[1]  =  u[3]  =  uEven;
u[2]  =  uOdd;

?u

u[1][ .5]

Table[eigenfunctionPlot[y[n],  u[n]],  {n,  1,  3}];

\(ClearAll[V, \ q, \ k, \ y, \ uEven, \ uOdd, \ 
      u, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ energy, \ 
      eigenfunctionPlot]\)