2. Calcolo Numerico

2.1 Operazioni aritmetiche

2.1 + 3.72

6.882/2

(54.8/4)

2^3
(2^3)

2.2  Costanti Matematiche

pi

N[Pi]

Pi
π

E
E

N[E]

2.3  Funzioni elementari

Sin[a]

Cos[h]

Round[1.8]

2.4 Calcoli standard

Sqrt[(1.1*10^-23)*(6.8*10^-2)/(1.4*10^-24)]

(Sqrt[((1.1*(10^(-23))*6.8*(10^(-2)))/(1.4*(10^(-24))))])

ScientificForm[0.0076]

2.5 Valori esatti ed approssimati

Precision[24]

345/678

(1/3)*3

N[(1/3)]*3

Precision[345/678]

x = 123/456  +  456/789  +  2 Sqrt[5]

Precision[x]

N[x]
x // N

Precision[N[x]]

Accuracy[N[x]]

Sin[3]
Sin[3. ]

x

Sqrt[x  +  4]
Sqrt[x  +  4. ]

x = (Sqrt[3.5])
Precision[x]

x = 2.5677

x = 
      111.34545645777777777777777777777777777777777774875858587584848

x

Precision[x]

Accuracy[x]

x = 1.0000001

x - 1

Cos[20 Degree]

Cos[20 Degree] // N

Cos[20] // N

2.6 Precisione arbitraria

a = (4 Pi/3) (2 m)^3

N[a]

N[a, 20]

N[(4 Pi/3) (2 m)^3,  200]

2.7 Matrices

Esempio

m  =  {{16,  0,  0}, {0,  
          14,  -6}, {0,  -6,  -2}}

MatrixForm[m]

minv  =  Inverse[m]

m . minv

MatrixForm[%]

Clear[m,  minv]

2.8 Doppie parentesi quadre

Esempio

ourlist  =  {1,  uuu,  {2, 4},  7,  9,  11,  13,  
        15}

ourlist[[2]]

ourlist[[{1,  4,  5}]]

▲▲▲

Esempio

myMatrix  =  {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}

MatrixForm[myMatrix ]

myMatrix[[2]]

myMatrix[[1,  1]]

Clear[ourlist,  myMatrix]

▲▲▲

2.9 Fit dei minimi quadrati

Esempio

time  =  Table[i,  {i,  0,  9}]

\(distance\  = \ {0, \ 1.5, \ 6.0, \ 13.5, \ 24.0, \ 
        37.5, 
	\ 	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 54.0, \ 
        73.5, \ 96.0, \ 121.5}\)

val = {time, distance}

MatrixForm[val]

ListPlot[val]

data  =  Transpose[val]

MatrixForm[data]

ListPlot[data]

ListPlot[val]

fit = Fit[data,  {1,  t},  t]

fit = Fit[data,  {1,  t,  t^2,  t^3},  t]

Plot[fit, {t, 0, 9}]

Show[ListPlot[data], Plot[fit, {t, 0, 9}]]

▲▲▲

2.10 Numeri Complessi

x = Sqrt[-7]  +  Log[2  +  8 I]

N[x]

Conjugate[N[x]]

Re[x]
Im[x]

Re[N[x]]
Im[N[x]]

2.11 Soluzione numerica di equazioni Polinomiali

x = 3

Clear[x]

x = 4

NSolve[x^5  +  4 x^3  + 3 x^2  +  2 x  - 10 ==  0,  
      x]

x

Clear[x]

NSolve[x^5  +  4 x^3  + 3 x^2  +  2 x  ==  10,  
      x]

x^5  +  4 x^3  + 3 x^2  +  2 x  ==  10

\(NSolve[{x^2\  - \ x\ y\  - \ y^2\  == \ 1, \ 
        x^3\  + \ 3\ x\ y\  - \ y^3\  == \ 
          9}, 
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {x, \ y}]\)

2.12 Integrazione Numerica

Integrate[(x^2), {x, 0, 2}]
NIntegrate[(x^2), {x, 0, 2}]

NIntegrate[
      Sin[Sqrt[1  +  x^4  +  Sin[x^3]]],  {x,  0,  2}]

Esempio

\(NIntegrate[
      r/Sqrt[\((1\  - \ 
                  r\ Cos[phi])\)^2\  + 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \((2\  - \ r\ Sin[phi])\)^2\  + \ 
            5^2], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {r, \ 
        0, \ 1}, \ {phi, \ 0, \ 2  Pi}]\)

▲▲▲

2.13 Soluzione Numerica di Equazioni Differentiali

Esempio

\(sol\  = \ 
      NDSolve[{\(\(x'\)'\)[t]\  + \ 0.5\ \(x'\)[t]\  + \ 9\ x[t]\  == \ 
            0, 
		\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(x'\)[0]\  == \ 0, \ 
          x[0]\  == \ 
            1}, 
		\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x, \ {t, \ 0, \ 12}]\)

\(Plot[
      Evaluate[x[t]\  /. \ sol], \ {t, \ 0, \ 
        12}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ AxesLabel\  -> \ {" t (s)", \ " x (m)"}]\)

Clear[sol]

▲▲▲

Esempio

\(orbit\  = \ 
\ 
      NDSolve[
\ \ \ \ \ {\(\(x'\)'\)[
                t]\  + \ \((4\ Pi^2)\)\ x[
                    t]/\((\((x[t]^2\  + \ y[t]^2)\)^\((3/2)\))\)\  == \ 
            0, 
\ \ \ \ \ \ \ \(\(y'\)'\)[
                t]\  + \ \((4\ Pi^2)\)\ y[
                    t]/\((\((x[t]^2\  + \ y[t]^2)\)^\((3/2)\))\)\  == \ 
            0, 
\ \ \ \ \ \ \ x[0]\  == \ 1, 
\ \ \ \ \ \ \ y[0]\  == \ 
            0, 
\ \ \ \ \ \ \ \(x'\)[
              0]\  == \ \(-Pi\), 
\ \ \ \ \ \ \ \(y'\)[0]\  == \ 
            2\ Pi
\ \ \ \ \ }, 
\ \ \ \ {x, \ y}, \ {t, \ 0, \ 
          1.6}
	\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ]\)

\(\(ParametricPlot[
        Evaluate[{x[t], \ y[t]}\  /. \ 
            orbit], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {t, \ 0, \ 
          1.6}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ AspectRatio\  -> \ 
          Automatic, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ AxesLabel\  -> \ {"x (AU)", \ " y (AU)"}];\)\)

Clear[orbit]

▲▲▲

2.14 Iteratori

Table[Sin[i] // N,  {i, 1,  13}]

Table[{i, (i^2)},  {i, 1,  13}]

(Subscript[x, k])

Clear[x]
\(Do[x\_k = k, 
\ \ \ \ \ {k, \ 2, \ 4}]\)

(Subscript[x, 1])
(Subscript[x, 2])
(Subscript[x, 3])
(Subscript[x, 4])
(Subscript[x, 5])

2.15 Esercizi

1. Fissare l'ipotenusa e un angolo adiacente  (in gradi) in un triangolo rettangolo e determinare i due cateti.

2. Costruire la tabella dei primi 30 numeri dispari.

3. Costruire una tabella di 10 integrali calcolati numericamente tra x=0 e x=1 di 10 funzioni f(x) diverse.

\(4. \ \ Costruire\ 20\ coppie\ di\ valori\ \ \((x\_i, 
        f \((x\_i)\))\)\ con\ f \((x)\)\ funzione\ \ \ a\ \ \ piacere\ e\ farne\ il\ grafico\ con\ \ ListPlot . 
        Fare\ \ anche\ il\ grafico\ di\ f \((x)\)\ e\ confrontarlo\ col\ \(\(precedente\)\(.\)\)\)

5.   Determinare numericamente le soluzioni di 2  (x^2) - 2  x + 
        8 = 0. 
\(Trovare\ le\ stesse\ soluzioni\ usando\ la\ formula\ esatta\ risolutiva\ delle\ equazioni\ di\ 2\^o\ grado\ \ trasformarlo\ in\ risultato\ numerico\ con\ \ 20\ cifre\ decimali\ \ e\ confrontarlo\ col\ \(\(precedente\)\(.\)\)\)

\(6. \ Fissare\ arbitrariamente\ i\ coefficienti\ e\ risolvere\ il\ sistema\ lineare\ nelle\ incognite\ x, 
    y : 
\(a\_\(1, 1\)\) x + \(a\_\(1, 2\)\) y = 
      b\_1\)
         (Subscript[a, 2, 1]) x + (Subscript[a, 2, 2]) y = 
      (Subscript[b, 2])
\(usando\ NSolve . \ 
        Risolverlo\ \ anche\ col\ metodo\ di\ sostituzione\ e\ confrontare\ i\ \(\(risultati\)\(.\)\)\)