3 Calcolo Simbolico

3.1 Espressioni Algebriche

Ci sono molte funzioni in Mathematica che trasformano espressioni algebriche. Alcune di esse sono

	Apart[expr,var]			Riscrive una espressione razionale come somma di termini con
						il minimo denominatore trattando tutte le variabili diverse da var 						come costanti
	Cancel[expr]				Riduce una frazione nella forma più semplice.
	Collect[expr,x]			Raccoglie i termini che contengono la stessa potenza di x.
	Expand[expr]				Applica la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma
	ExpandAll[expr]			Applica Expand a tutte le subespressioni
	ExpandDenominator[expr]		Applica Expand al denominatore.
	ExpandNumerator[expr]		Applica Expand al numeratore.
	Factor[expr]				Fattorizza expr completamente
	FactorTerms[expr,x]			Mette in evidenza tutti i fattori che non dipendono da x
	Simplify[expr]				Restituisce la forma più semplice di expr applicando varie 							trasformazioni algebriche.
	Together[expr]			Riduce una somma di frazioni ad unica frazione, con il minimo 						comune denominatore come denominatore
	ComplexExpand[expr]		Applica Expand assumendo tutte le variabili reali.
	PowerExpand[expr]			Espande tutte le potenze.
	FullSimplify[expr]			Restituisce la forma più semplice di expr applicando varie 							trasformazioni che involgono sia funzioni elementari che speciali.

Apart[((5 (x^2) - 4 x + 16)/(((((x^2) - x + 1))^2) (x - 3))), 
      x]

Cancel[(((y^2) - 5 y + 4)/(y - 1))]

myexpr = (((x + 3) (((x - 1))^2))/(((x^2) + 1) (((x + 5))^2)))

Expand[myexpr]

ExpandAll[myexpr]

ExpandDenominator[myexpr]

ExpandNumerator[myexpr]

Clear[myexpr]

Factor[16 (y^2) - 25 (y^4)]

Expand[%]

Simplify[(1/((x^2) - 16)) - ((x + 4)/((x^2) - 3 x - 4))]

Together[(1/((x^2) - 16)) - ((x + 4)/((x^2) - 3 x - 4))]

ExpandDenominator[%]

3.2  Expressioni Trigonometriche

Ad eccezione di Simplify e ComplexExpand tutte le funzioni introdotte in precedenza lasciano invariate le espressioni trigonometriche. Per manipolare espressioni trigonimetriche Mathematica mette a disposizione le seguenti funzioni:

	TrigExpand[expr]			Espande una espressione trigonometrica in somma di termini.
	TrigFactor[expr]			Fattorizza una espressione trigonometrica in prodotti di termini.
	TrigReduce[expr]			Applica identità trigonometriche per angoli multipli.
	TrigToExp[expr]			Scrive una funzione trigonometrica in forma esponenziale.
	ExpToTrig[expr]			Scrive esponenziali in forma trigonometrica

Expand[Sin[x] Cos[x]]

Simplify[Cos[x]^2 + Sin[x]^2]

ComplexExpand[Cos[x + I y]]

TrigReduce[Sin[x]^2 Cos[y] Sin[z]]

TrigFactor[%]

TrigExpand[Cos[x + y + z]]

ExpToTrig[(E^(I z))]

Un metodo semplice per verificare identità trigonometriche consiste nell'applicare la funzione Simplify alla identità lhs==rhs e vedere se ritorna True.

Simplify[(((1 - Cot[x]))^2) - (((Sec[x] - Csc[x]))^2) + (((1 - Tan[x]))^2) == 0]

Simplify[(2 Cot[4 x] + 2 Csc[4 x]) - (Cot[x] - Tan[x]) == 
        0]

Simplify[(Tan[(x/2)] Cot[(y/2)] - 
              Cot[(x/2)] Tan[
                  (y/2)]) - ((2 (Cos[y] - Cos[x]))/(Sin[x] Sin[y])) == 0]

3.3 Unità, Conversione di Unità, e  Constanti Fisiche

\(Esempio . \ 
Un' 
        auto\ si\ muove\ su\ una\ linea\ retta\ con\ una\ accelerazione\ a = \ 5.00\ \(m\/s\^2\) . \ Se\ la\ velocità\ \)
\(iniziale\ è\ v\_0 = \(6.50 \( m\/s\) 
          qual' è\ la\ velocità\ dell' 
          auto\ dopo\ che\ ha\ percorso\ un\ tratto\ s = 
        29.5\ m . 
\((\ 
              Applicare\ l' equazione\ cinematica\ v\^2 = 
                v\_0\^2 + 2\ a\ s)\)\)\)

v = 
      N[(Sqrt[(((((6.50 m)/s)))^2) + ((2 (29.5 m) (5.00 m))/(s^2))]), 3]

PowerExpand[v]

Il package Miscellaneous`Units` contiene le funzioni Covert e ConvertTemperature ,SI,MKS,\(CGS\ \ per\ la\ conversione\ di\ unità . \ 
          Per\ usare\ questo\ package\ bisogna\ prima\ caricarlo\ con\ il\ \(\(comando\)\(.\)\)\)

Needs["Miscellaneous`Units`"]

Convert[((1.00 (10^3) Kilogram)/(Meter^3)), 
      (Gram/(Centimeter^3))]

N[Convert[((55 Mile)/Hour), ((Kilo Meter)/Hour)], 2]

ConvertTemperature[50, Fahrenheit, Celsius]

SI[3 (10^5) Gauss]

Il package Miscellaneous`PhysicalConstants` contiene molte costanti \(fisiche . 
Per\) avere piu dettagli sui packages bisogna consutare l'Help.

Needs["Miscellaneous`PhysicalConstants`"]

ElectronMass (SpeedOfLight^2)

3.4 Definizione di variabili e Regole di Transformazione

\(Ad\ una\ variabile\ si\ può\ assegnare\ sia\ un\ valore\ numerico\ che\ simbolico\ medinte\ il\ comando\)
							var = expr
Vediamo alcuni esempi.

t = Expand[(a + b) (a - b)]

(b^2) + t

t = (d^2)

(b^2) + t

L'assegnazione resta finchè il valore viene cambiato o rimosso.Questo a volte può essere fonte di errore. Risolviamo per esempio
l'equazione differenziale (((d^2) x)/(dt^2)) - (dx/dt) - 
          x = 0 con le condizioni iniziali x(
              0) = 1 x' (0) = 0

NDSolve[{x''[t]-x'[t]-x[t]==0,x'[0]==0,x[0] == 1},x,{t, 0, 5}]

Clear[t]

NDSolve[{x''[t]-x'[t]-x[t]==0,x'[0]==0,x[0] == 1},x,{t, 0, 5}]

\(Un\ modo\ per\ evitare\ questo\ tipo\ di\ errore\ è\ quello\ di\ usare\ regole\ di\ trasformazione\)
							expr /. var -> value
Con questo tipo di sintassi alla varibile var non viene assegnato alcun valore mentre expr viene 
calcolato sostituendo a var value.
Vediamo alcuni esempi.

2 x + 10 /. x -> 10

x

ElectronMass (SpeedOfLight^2)

% /. ((Kilogram (Meter^2))/(Second^2)) -> 
        Joule

3.5 Equazioni

La funzione
						Solve[lhs==rhs,var]
\(tenta\ di\ risolvere\ esattamente\ l' 
        equazione\ lhs = \(var\ rispetto\ alla\ variabile\ var . 
\ 
              Per\ esempio\ risolviamo\ l' 
            equazione\ di\ secondo\ grado\ x\^2\  - \ 3\ x\  - \ 10\  = 
        0\)\)

Solve[x^2  -  3 x  -  10  ==  0,  x]

\(\(\(\ \)\(Il\ risultato\ è\ una\ lista\ di\ regole\ di\ trasformazioni\)\)\). Si può verificare l'esattezza della soluzione applicando alla equazione le regole di trasformazione

x^2  -  3 x  -  10  ==  0  /.  %

\(\(\(\ \)\(Per\ avere\ la\ lista\ delle\ soluzioni\ basta\ applicare\ a\ x\)\)\) le regole di trasformazione

x  /.  %%

\(Il\ comando\ Solve\ è\ adatto\ a\ risolvere\ soprattutto\ equazioni\ polinomiali, \ ma\ può\ risolvere\ anche\)
altri tipi di equazioni .  Per esempio

Solve[p == ((m v)/(Sqrt[1 - ((v^2)/(c^2))])), v]

Solve[9 Cos[x]^2 + 8 Cos[x] == 1, x]

Solve[(E^(-x)) (x^2) + x - 5 == 0, x]

Solve[(x^5) - 3 (x^4) + 2 (x^3) + x == 4, x]

N[%]

La funzione
						Solve[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,...},{var1, var2,  ... }]
\(tenta\ di\ risolvere\ esattamente\ sistema\ di\ equazioni\ \ rispetto\ alle\ variabili\ var1, var2,  ... \)

Solve[{x + y == z, -6 x - 2 z + 10 == 0, 
        6 x - 4 y - 24 == 0}, {x, y, z}]

3.6 Somme

Sum[f, {i, imin, imax}] calcola la somma
						(∑_(i = imin)^imax) f
Sum[f, {i, imin, imax, di}] calcola la somma incrementando l'indice i di di.
Se imin vale 1 può essere \(omesso . 
Per\) esempio generiamo le  somma
				1 + (1/x) + (1/(x^2)) + (1/(x^3)) + (1/(x^4)) + (1/(x^5)) + 
        (1/(x^6))
				1 + (1/(2^4)) + (1/(3^4)) + (1/(4^4)) + (1/(5^4)) + (1/(6^4)) + 
        (1/(7^4))
				1 + (1/(x^2)) + (1/(x^4)) + (1/(x^6)) + (1/(x^8)) + 
        (1/(x^10))

Sum[1/x^i,  {i,  0,  6}]

Sum[1/i^4,  {i,  1,  7}]

N[%]

Sum[1/x^i,  {i,  0,  10,  2}]

Sum[1/(x^i  +  y^j),  {i,  1,  3},  {j,  1,  i}]

3.7 Definizione di Funzioni

Una ovvia definizione di funzione potrebbe essere
				name[arg1, arg2,  ... ]:=body;
\(Per\ illustrare\ il\ flusso\ di\ questa\ definizione\ definima\ la\ funzione\ f \((x)\) = x\^3 - 1\)

f[x]  :=  x^3  - 1

f[x]

f[y]

f[2]

Contrariamente a quello che uno si aspetta Mathematica  non dà come risultato (y^3)-1 e 7 per f[y] e f[2] rispettivamente. Ciò perchè 
Mathematica conosce f[x] e non f[y] e f[2]. 
Per definire una funzione e necessario scrivere
				name[arg1_,arg2_,...]:=body
dove "_" è chiamato blank e sta per "qualsiasi espressione" che nel corpo della funzione sarà chiamata arg.

f[x_]  :=  x^3  -  1

f[y]

f[2]

Clear[f]

Le funzioni con un solo argomento possono essere richiamate anche in forma operatoriale
				func@arg     prefix
				arg//func       postfix

N[Sin[50 Degree]]  ==  Sin[50 Degree] // N

Sqrt@3.2

3.2 // Sqrt

Per vedere la definzione di una funzione si può utilizzare l'operatore "?"

f[x_]  :=  x^3

?f

Si può anche associare alla definizione di una funzione un messaggio.

f::usage  =  "f[x] calcola il cubo di x."

?f

?? f

Clear[f]

3.8 Limiti

\(Limit[\ f \((x)\), 
        x -> 
          a]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ calcola, \ se\ esiste, \ 
    il\ limite\ \ \(lim\+\(x -> a\)f \((x)\)\)\)
Limit[ f (x), x -> a, 
        Direction -> -1]                 calcola,  
    se esiste,  
    il limite  (lim_(x -> a-))f (x)
Limit[ f (x), x -> a, 
        Direction -> 
          1]                    calcola,  se esiste,  
    il limite  (lim_(x -> a+))f (x)

Limit[Sqrt[9 x^2  +  2]/(3  -  4 x),  
      x  ->  Infinity]

Limit[2 x^2/(9  -  x^2),  x  ->  3,  
      Direction  ->  -1]

Limit[2 x^2/(9  -  x^2),  x  ->  3,  
      Direction  ->  1]

3.9 Operatori Relazionali e Logici.

Gli operatori relazionali confrontano due espressioni e danno come risultato True o False 
quando il confronto è \(possibile . 
Gli\) operatori relazionali sono:
lhs==rhs  o Equal[lhs, rhs]                                      True se lhs=rhs
lhs!=rhs  o Unequal[lhs, rhs]                                  True se lhs≠rhs
lhs > rhs  o Greater[lhs, rhs]                                  True se lhs>rhs
lhs>=rhs  o GreaterEqual[lhs, rhs]                       True se lhs≥rhs
lhs < rhs  o Less[lhs, rhs]                                         True se lhs<rhs
lhs<=rhs  o LessEqual[lhs, rhs]                              True se lhs≤rhs

f[x_]  :=  x^2

g[x_]  :=  x^3

g[2]  >  f[3]  +  1

8  -  5  ==  3  ==  6/2

4  >  3  <=  2

1  +  x  >  2 y

4  >  3  ||  5  <=  10

Gli operatori logici agiscono su espressioni logiche e danno come risultato True o False
Gli operatori relazionali sono:
!expr o Not[expr]                                                             True se expr è False   False  se expr è  True 
expr1  &&  expr2  &&  ...  o And[expr1, expr2,  .. ]   Calcola le espressioni nellordine e da
                                                                                                   immediatamente False se una di essa è False,  
                                                                                                   e  True se tutte sono  True
expr1 || expr2 ||... o Or[expr1, expr2,  .. ]      Calcola le espressioni nellordine e da
                                                                                                   immediatamente True se una di essa è True,  
                                                                                                   e False se tutte sono  False
Xor[expr1, expr2,  .. ]                                                     True se il numero di expr True è dispari 
                                                                                                    False   altrimenti

Xor[4  >  3,  5  <=  10]

EvenQ[g[2]  +  1]  &&  1/0  <  10

1/0  <  10  &&  EvenQ[g[2]  +  1]

a  ||  b  ||  c

Clear[f,  g]

3.10 Assegnazione di variabile e Regole di Trasformazioni immediate e ritardate

Scrivendo var=value la variabile var assume immediatamente il valor value.Se invece scriviamo
var:=value l'assegnazione è ritardata,cioè l' 
          assegnazione viene fatta nel momento in cui
è richiesta .  Anche le regole di trasformazione possono essere immediate(expr/.lhs->rhs) se la 
sostituzione è fatta subito o ritardate (expr/.lhs:>rhs)se la sostituzione è fatta al 
momento in cui è richiesta.
 Vediamo la differenza con degli esempi.

imasm  =  Random[]

dlasm  :=  Random[]

Table[imasm,  {4}]

Table[dlasm,  {4}]

{f[a],  f[a],  f[a],  f[a]}  /.  f[a]  ->  Random[]

{f[a],  f[a],  f[a],  f[a]}  /.  f[a]  :>  Random[]

3.11 Derivate

D[f, x] da ((∂f)/(∂x)) derivata parziale della funzione f rispetto a x
D[f, {x, n}] da (((∂^n)f)/(∂(x^n))) derivata n-sima parziale rispetto a x.

D[Cos[4  x]/(1  -  Sin[4  x]),  x]

Simplify[%]

%  /.  x  ->  0

D[4  x^2  -  5  x  +  8  - 3/x,  {x,  4}]

D[x^3 y^2  -  2 x^2 y  +  3 x,  x,  y]

3.12 Integrazione

Integrate[f, x] da∫ fdx  integrale indefinito della funzione f
Integrate[f, {x, a, b}] da(∫_a^b) fdx  integrale definito della funzione f tra a e b

Integrate[ x^4/(a^2  +  x^2),  x ]

D[%, x]

Simplify[%]

Integrate[(5 x  -  2 Sqrt[x]  +  32/x^3),  {x,  1,  
        4}]

Integrate[Tan[Cos[x]],  {x,  0,  1}]

N[%]

Integrate[
      x^2  +  y^2  +  1,  {x,  0,  1},  {y,  0,  
        2  -  2 x}]

▲▲▲

3.15 Esercizi

1. Fattorizzare l'espressione
				(x^4) + 2  (x^3) - 3  x - 6

Factor[(x^4) + 2  (x^3) - 3  x - 6]

2. Fattorizzare l'espressione
				6(t^3) + 9  (t^2) - 15  t

Factor[6  (t^3) + 9  (t^2) - 15  t]

3. Fattorizzare l'espressione
				a (x^2) + a y  + b (x^2) + b y

Factor[a (x^2) + a y  + b (x^2) + b y]

4. Fattorizzare l'espressione
				2  (x^4) (y^6) + 6  (x^2) (y^3)  - 20

Factor[2  (x^4) (y^6) + 6  (x^2) (y^3)  - 20]

5. Semplificare l'espressione
				(1/((x^2) - 16)) - ((x + 4)/((x^2) - 3  x - 4))

Together[(1/((x^2) - 16)) - ((x + 4)/((x^2) - 3  x - 4))]

6. Semplificare l'espressione
				(3/((x^3) - x)) + (4/((x^2) + 2  x + 1))

Factor[(3/((x^3) - x)) + (4/((x^2) + 2  x + 1))]

7. Risolvere il sistema di equazioni
				4 x+5 y = 5
				6 x+7 y = 7

Solve[{4  x + 5  y == 5, 6  x + 7  y == 7}, {x, 
        y}]

8. Risolvere l'equazione
				(t^2) + 4  t - 8  =  0

Solve[(t^2) + 4  t - 8 == 0, t]

9. Risolvere l'equazione
				(Sqrt[x + 2]) + 4 = x

Solve[(Sqrt[x + 2]) + 4 == x, x]

10. Risolvere l'equazione
				(Sqrt[y - 5]) - (Sqrt[y])  =  1

Solve[(Sqrt[y - 5]) - (Sqrt[y]) == 1, y]

11. Calcolare la derivata della funzione
				y (x) =  Sin ((e^((x^2))))

D[Sin[(E^((x^2)))], x]

\(\(\(Derivative[1]\)[Sin[E\^\(#\^2\)] &]\)[x]\)

12. Calcolare la derivata seconda della  funzione
				y (x) =  (e^x) Sin (x)

D[(E^x) Sin[x], {x, 2}]

\(\(\(Derivative[2]\)[\(E\^#\) Sin[#] &]\)[x]\)

13. Siano f(t) e r(t) due funzioni legate dalla relazione
				f(t)=((d r(t))/(d t))
    A meno di una costante addittiva è
    				r(t)=∫f(t) dt
    Determinare r(t) per
    				f(t)=5 ln t -(e^(-3 t))

Clear[r, t]
∫(5 
               Log[t] - (E^(-3 t))) \[DifferentialD]t
r = 
        r /. DSolve[r'[t] == 
                5  Log[t] - (E^(-3 t)), r, 
              t][[1]];
r[t]

14. Siano f(t) e r(t) due funzioni legate dalla relazione
				f(t)=((d r(t))/(d t))
    A meno di una costante addittiva è
    				r(t)=∫f(t) dt
    Determinare r(t) per
    				f(t)=(t/(Sqrt[(d^2) + (t^2)]))
    dove d è una costante.

Clear[r, t, d]
∫(t/(Sqrt[(d^2) + (t^2)])) \[DifferentialD]t
r = 
      r /. DSolve[r'[t] == (t/(Sqrt[(d^2) + (t^2)])), r, 
            t][[1]]; r[t]

15. Calcolare
				(∫_0^1) (4/(1 + (x^2))) dx
   Cosa ha di particolare l'integrale?

(∫_0^1) (4/(1 + (x^2))) \[DifferentialD]x

16. Dato l'integrale
					(∫_0^1) (x/((a^3) + (x^3))) dx
(a) Calcolare l'integrale
(b) Derivare il risultato e ritrovare l'integrando

int = ∫(x/((a^3) + (x^3))) \[DifferentialD]x
Simplify[D[int, x]]

19. Calcolare il limite per x->∞ della funzione

		\(\(Log \((x - a)\)\)\/\(\((a - b)\) \((a - c)\)\) + 
        Log[2 \((x - b)\)]\/\(\((b - c)\) \((b - a)\)\) + \(Log \((x - c)\)\)\/\(\((c - a)\) \((c - b)\)\)\)

Limit[
      Log[x - a]/((a - b) (a - c)) + 
        Log[2 (x - b)]/((b - c) (b - a)) + 
        Log[x - c]/((c - a) (c - b)), 
      x -> ∞]

20. Calcolare il limite per x->∞ della funzione

						(1/((e^x) - (e^(x - (x^(-2))))))

Limit[(1/((E^x) - (E^(x - (x^(-2)))))), 
      x -> ∞]

23. Dato il circuito 
				
(a) determinare tutte le correnti in funzione della fem e delle resistenze
(b) ottenere i valori numerici della corrente con E=12 V, (Subscript[R, 1]) = 2.0 Ω, (Subscript[R, 2]) = 4.0 Ω, (Subscript[R, 3]) = 6.0 Ω, (Subscript[R, 4]) = 2.0 Ω
      e (Subscript[R, 5]) = 3.0 Ω. Si trascuri la resistenza interna della batteria

Unprotect[E];
Clear[i, (Subscript[i, 1]), (Subscript[i, 2]), (Subscript[i, 3]), (Subscript[i, 4]), (Subscript[i, 5]), y, E, (Subscript[R, 1]), (Subscript[R, 2]), (Subscript[R, 3]), (Subscript[R, 4]), 
      (Subscript[R, 5])]
\(\({i, i\_1, i\_2, i\_3, i\_4, 
          i\_5} = {i, i\_1, i\_2, i\_3, i\_4, i\_5} /. 
          Simplify[\(Solve[{
		E == 
                    i\_1\ R\_1 + i\_2\ R\_2, 
		E == 
                    i\_3\ R\_3 + i\_4\ R\_4, 
		i\_3\ R\_3 - 
                      i\_1\ R\_1 == \(R\_5\) i\_5, 
		i\_1 == 
                    i\_2 + i\_5, 
		i\_3 == 
                    i\_4 - i\_5, 
		i == i\_1 + i\_2}, 
{i, i\_1, 
                  i\_2, i\_3, i\_4, i\_5}]\)[\([1]\)]];\)\)
rule = {E -> 12  V, (Subscript[R, 1]) -> 2.0  Ω, 
          (Subscript[R, 2]) -> 4.0  Ω, 
          (Subscript[R, 3]) -> 6.0  Ω, 
          (Subscript[R, 4]) -> 2.0  Ω, 
          (Subscript[R, 5]) -> 3.0  Ω, 
          (V/Ω) -> Ampere};
\(\(Print["i =", i, " = ", 
        SetPrecision[i //. rule, 3], 
\*""\n\!\(i\_1\)="", 
        i\_1, " = ", 
        SetPrecision[i\_1 //. rule, 3], 
\*""\n\!\(i\_2\)="", 
        i\_2, " = ", 
        SetPrecision[i\_2 //. rule, 3], 
\*""\n\!\(i\_3\)="", 
        i\_3, " = ", 
        SetPrecision[i\_3 //. rule, 3], 
\*""\n\!\(i\_4\)="", 
        i\_4, " = ", 
        SetPrecision[i\_4 //. rule, 3], 
\*""\n\!\(i\_5\)="", 
        i\_5, " = ", SetPrecision[i\_5 //. rule, 3]];\)\)
E = 12  V; (Subscript[R, 1]) = 2.0  Ω; (Subscript[R, 2]) = 4.0  Ω; 
    (Subscript[R, 3]) = 6.0  Ω; (Subscript[R, 4]) = 2.0  Ω; 
    (Subscript[R, 5]) = 3.0  Ω; V = Ω Ampere;
\(\(Print["i =", i, \*""\n\!\(i\_1\)="", 
        i\_1, \*""\n\!\(i\_2\)="", i\_2, \*""\n\!\(i\_3\)="", 
        i\_3, \*""\n\!\(i\_4\)="", i\_4, \*""\n\!\(i\_5\)="", 
        i\_5];\)\)
E = E;
Protect[E];

24. Dato il circuito 
				
(a) determinare tutte le correnti in funzione della fem e delle resistenze
(b) ottenere i valori numerici della corrente con (Subscript[E, 1])=12 V, (Subscript[E, 2]) = 8 V, (Subscript[R, 1]) = 20.0 Ω, (Subscript[R, 2]) = 15.0 Ω, (Subscript[R, 3]) = 3.0 Ω, (Subscript[R, 4]) = 6.0 Ω, (Subscript[R, 5]) = 12.0 Ω  e  (Subscript[R, 6])=2.0 Ω. Si trascuri la resistenza interna della batteria

Clear[(Subscript[i, 1]), (Subscript[i, 2]), (Subscript[i, 3]), (Subscript[i, 4]), (Subscript[i, 5]), (Subscript[i, 6]), (Subscript[E, 1]), (Subscript[E, 2]), (Subscript[R, 1]), (Subscript[R, 2]), (Subscript[R, 3]), 
      (Subscript[R, 4]), (Subscript[R, 5]), (Subscript[R, 6])]
\(\({i\_1, i\_2, i\_3, i\_4, i\_5, 
          i\_6} = {i\_1, i\_2, i\_3, i\_4, i\_5, i\_6} /. 
          Simplify[\(Solve[{
		\(-E\_1\) + i\_1\ R\_1 + i\_2\ R\_2 - 
                      i\_3\ R\_3 == 
                    0, 
		\(-E\_2\) + i\_3\ R\_3 + i\_4\ R\_4 + 
                      i\_6\ R\_6 == 
                    0, 
		\(-i\_2\)\ R\_2 - 
                      i\_4\ R\_4 + \(i\_5\) R\_5 == 
                    0, 
		i\_1 + i\_3 - i\_6 == 
                    0, 
		i\_1 - i\_2 - i\_5 == 
                    0, 
		\(-i\_2\) - i\_3 + i\_4 == 0}, 
{i\_1, 
                  i\_2, i\_3, i\_4, i\_5, i\_6}]\)[\([1]\)]];\)\)
rule = {(Subscript[E, 1]) -> 12  V, (Subscript[E, 2]) -> 8  V, 
          (Subscript[R, 1]) -> 20.0  Ω, 
          (Subscript[R, 2]) -> 15.0  Ω, 
          (Subscript[R, 3]) -> 3.0  Ω, 
          (Subscript[R, 4]) -> 6.0  Ω, 
          (Subscript[R, 5]) -> 12.0  Ω, 
          (Subscript[R, 6]) -> 2.0  Ω, 
          (V/Ω) -> Ampere};
\(\(Print[\*""\!\(i\_1\)="", i\_1, " = ", 
        SetPrecision[i\_1 //. rule, 3], 
\*""\n\!\(i\_2\)="", 
        i\_2, " = ", 
        SetPrecision[i\_2 //. rule, 3], 
\*""\n\!\(i\_3\)="", 
        i\_3, " = ", 
        SetPrecision[i\_3 //. rule, 3], 
\*""\n\!\(i\_4\)="", 
        i\_4, " = ", 
        SetPrecision[i\_4 //. rule, 3], 
\*""\n\!\(i\_5\)="", 
        i\_5, " = ", 
        SetPrecision[i\_5 //. rule, 3], 
\*""\n\!\(i\_6\)="", 
        i\_6, " = ", SetPrecision[i\_6 //. rule, 3]];\)\)
(Subscript[E, 1]) = 12  V; (Subscript[E, 2]) = 8  V; (Subscript[R, 1]) = 20.0  Ω; 
    (Subscript[R, 2]) = 15.0  Ω; (Subscript[R, 3]) = 3.0  Ω; 
    (Subscript[R, 4]) = 6.0  Ω; (Subscript[R, 5]) = 12.0  Ω; 
    (Subscript[R, 6]) = 2.0  Ω; V = Ω Ampere;
\(\(Print[\*""\!\(i\_1\) ="", i\_1, \*""\n\!\(i\_2\)="", 
        i\_2, \*""\n\!\(i\_3\)="", i\_3, \*""\n\!\(i\_4\)="", 
        i\_4, \*""\n\!\(i\_5\)="", i\_5, \*""\n\!\(i\_6\)="", 
        i\_6];\)\)

25. Dimostrare che

					((sec (x) - csc (x))/(tan (x) + cot (x)))=((tan(x) - cot(x))/(sec(x) + csc(x)))

Simplify[((Sec[x] - Csc[x])/(Tan[x] + Cot[x])) == ((Tan[x] - Cot[x])/(Sec[x] + Csc[x]))]

26. Dimostrare che
					((2 sin (2  x) - sin (3  x))/(cos (x)))=sin(x)( 8  (sin^2)((x/2)) + sec(x))

Simplify[((2  Sin[2  x] - Sin[3  x])/Cos)[x] == 
        Sin[x] (8  Sin[(x/2)]^2 + Sec[x])]