5. Moto rettilineo

Equazione oraria 
x  =  x[t]

Velocità media nell' 
        intervallo (t, t + Δt)
\(v\_m\  = \ \(x[t + Δt] - x[t]\)\/Δt\)

Velocità istantanea
(Underscript[Lim, Δt -> 0]) (Subscript[v, m]) = v[
              t]  =  x'[t]

Accelerazione media nell' 
        intervallo (t, t + Δt)
\(a\_m\  = \ \(v[t + Δt] - v[t]\)\/Δt\)

Accelerazione istantanea
(Underscript[Lim, Δt -> 0]) (Subscript[a, m]) = a[
            t]  =  x''[t]

Seconda legge della dinamica

F = m a 
F[x',x,t] = m x''[t]

Moto verticale nel campo della gravità

Senza resistenza dell'aria

\(Tutti\ i\ corpi\ si\ muovono\ con\ la\ stessa\ accelerazione\ costante\)
 g  =  9.8 (m/(s^2))
F  =  
          m g  (forza peso di un corpo di massa m)

x''[t]  =  -g

oppure il sistema
x'[t]  =  v[t]
v'[t]  =  -g

Clear["Global`*"];
DSolve[{x'[t]  ==  v[t], v'[t] == -g}, {x[t], 
          v[t]}, t] // ExpandAll

Clear["Global`*"];
sol = 
        DSolve[{x'[t]  ==  v[t], v'[t] == -g, 
              x[0] == x0, v[0]  ==  v0}, {x[t], v[t]}, t] // 
          ExpandAll;
x[t_] = x[t] /. sol[[1]]
v[t_] = v[t] /. sol[[1]]

{g, x0, v0} = {9.8, 0, 98};
Plot[x[t], {t, 0, 30}, PlotRange -> {-1000, 1000}, 
      AxesLabel -> {"t (s)", "x (m)"}, 
      PlotLabel -> "Grafico spazio-tempo"]
Plot[v[t], {t, 0, 30}, PlotRange -> {-200, 200}, 
      AxesLabel -> {"t (s)", "v (m/s)"}, 
      PlotLabel -> "Grafico velocità-tempo"]

Con resistenza dell'aria

Introducendo la resistenza dell'aria
-m g - c v = m x''
x'[t] = v[t]
v'[t] = -g -b v[t]
b = c/m

Clear["Global`*"];
sol = 
        DSolve[{x'[t]  ==  
                v[t], v'[t] == -g  -  b v[t], 
              x[0] == x0, v[0]  ==  v0}, {x[t], v[t]}, t] // 
          ExpandAll;
x[t_] = x[t] /. sol[[1]]
v[t_] = v[t] /. sol[[1]]

{g, b, x0, v0} = {9.8, 5, 0, 98};
Plot[x[t], {t, 0, 30}, PlotRange -> {-50, 30}, 
      AxesLabel -> {"t (s)", "x (m)"}, 
      PlotLabel -> "Grafico spazio-tempo"]
Plot[v[t], {t, 0, 30}, PlotRange -> {-10, 100}, 
      AxesLabel -> {"t (s)", "v (m/s)"}, 
      PlotLabel -> "Grafico velocità-tempo"]

Con attrito radente (piano inclinato)

Introducendo la forza d'attrito radente 
(costante ed opposta al moto)

-mg  - c v/|v| = m x''

x'[t] = v[t]
v'[t] = -g -k v[t]/|v[t]| = - g -k sign(v)
k = c/m

Clear["Global`*"];
{g, k, x0, v0} = {9.8, 5, 0, 98};
{x[t_], 
        v[t_]} = {x[t], 
          v[t]} /. NDSolve[{x'[t]  ==  
                v[t], v'[t] == -g  - k Sign[v[t]], 
              x[0] == x0, v[0]  ==  v0}, {x[t], v[t]}, {t, 0, 
              30}][[1]]

Plot[x[t], {t, 0, 30}, PlotRange -> {-500, 500}, 
      AxesLabel -> {"t (s)", "x (m)"}, 
      PlotLabel -> "Grafico spazio-tempo"]
Plot[v[t], {t, 0, 30}, PlotRange -> {-150, 150}, 
      AxesLabel -> {"t (s)", "v (m)"}, 
      PlotLabel -> "Grafico velocità-tempo"]