Problemi di Fisica con l'uso del PC

VII Lezione

9 Vettori

9.1 Definizione

Le grandezze che sono  individuate oltre che da una intensità (modulo) anche da una direzione ed un verso sono chiamate grandezze vettoriali o vettori. Tale grandezze possono essere rappresentate graficamente da un segmento orientato. Il simbolo di vettore si scrive con una  lettera in carattere grassetto (a) o con una lettera con una freccia sopra ((Overscript[a,  ->]) ). Il modulo del vettore si indica con |(Overscript[a,  ->]) | oppure semplicemente con a.

Dato il vettore (Overscript[a,  ->])  si definisce suo opposto (-(Overscript[a,  ->]) ) quel vettore che ha stesso modulo e direzione di (Overscript[a,  ->])  e verso opposto ad (Overscript[a,  ->]) .

9.2 Somma e differenza.

\(Le\ regole\ di\ somma\ e\ differenza\ sono\ illustrate\ in\ \(figura : La\ somma\ è\ la\ diagonale\ maggiore\)\) 
del parallelogramma individuato dai vettori (Overscript[a, ->]) e (Overscript[b, ->]), mentre la differenza  (Overscript[b, ->])-(Overscript[a, ->])=(Overscript[b, ->])+(-(Overscript[a, ->])) è la diagonale minore 
orientata verso (Overscript[b, ->]).

9.3  Versori. Prodotto di un numero per un vettore.

Si definisce versore un vettore di modulo 1.
Si definisce prodotto di un numero m  per il vettore (Overscript[a, ->]) il vettore (Overscript[b, ->])=m(Overscript[a, ->]) di modulo |m|a direzione quella di  (Overscript[a, ->]) 
e verso quello di (Overscript[a, ->]) se m>0 , quello opposto ad a se m<0.

9.4  Prodotto scalare e Prodotto vettoriale.

Il prodotto scalare tra due vettori  (Overscript[a, ->]) e (Overscript[b, ->]) è uno scalare : 
				m=(Overscript[a, ->]).(Overscript[b, ->])=a b Cos(θ) 
dove θ è l'angolo (più piccolo) compreso tra i due vettori . 
Il  prodotto vettoriale  tra due vettori  (Overscript[a, ->]) e (Overscript[b, ->]) è un vettore  (Overscript[c, ->])=(Overscript[a, ->])×(Overscript[b, ->]) di modulo a bSin(θ) , direzione
 perpendicolare al piano formato dai vettori (Overscript[a, ->]) e (Overscript[b, ->])  e verso quello verso l'alto se la rotazione intorno a (Overscript[c, ->]) che porta a 
sovrapporre (Overscript[a, ->]) e (Overscript[b, ->]) avviene in verso antiorario

9.5  Scomposizione di un vettore.

Due rette (non parallele)  r e  s oltre che individuare due direzioni individuano anche un piano .  Assegnate due rette 
tutti i vettori che appartengono al piano formato dal r e  s e possono essere scomposti nella somma di due vettori uno 
diretto lungo r e l'altro diretto lungo s.

9.6  Componenti cartesiane nel piano.

Se in un piano si assume un sistema di riferimento cartesiano ortoganale ogni vettore (Overscript[a, ->])del piano può essere scritto come somma di due vettori uno diretto lungo l'asse x e l'altro  lungo l'asse y, Se indichiamo con (Overscript[i, ->]) il versore dell'asse x, (Overscript[j, ->]) il  versore dell'asse  y e con (x,  y)   le coordinate cartesiane del punto  P secondo estremo del vettore (Overscript[a, ->]) tracciato a partire dall'origine si ha
						(Overscript[a, ->])=x (Overscript[i, ->])+y (Overscript[j, ->])
Per cui il vettore (Overscript[a, ->]) può essere individuato dalla coppia ordinati di numeri  reali  x e y  detti componenti 
cartesiane del vettore (Overscript[a, ->]).

9.7  Componenti cartesiane nello spazio.

Se in generale si assume un sistema di riferimento cartesiano ortoganale nello spazio ogni vettore (Overscript[a, ->])può essere scritto come somma di tre vettori uno diretti rispettivamete lungo l'asse x , l'asse y e l'asse z.
Se indichiamo con (Overscript[i, ->]) il versore dell'asse x, (Overscript[j, ->]) il  versore dell'asse  y, (Overscript[k, ->]) il  versore dell'asse  z e con (x,  y, z) 
  le coordinate cartesiane del punto  P secondo estremo del vettore (Overscript[a, ->]) tracciato a partire dall'origine si ha
						(Overscript[a, ->])=x (Overscript[i, ->])+y (Overscript[j, ->]) +z (Overscript[j, ->])
Per cui in genarale un vettore (Overscript[a, ->]) può essere individuato dalla terna  ordinata di numeri reali x e y e z 
detti componenti  cartesiane del vettore (Overscript[a, ->]).

9.8  Operazioni tra vettori con Mathematica.

In Mathematica un vettore è quindi rappresentato da una lista di  elementi che, a loro volta, non sono delle liste.
      Le operazioni tra vettori sono già incorporate in Mathematica.
      Plus[vec1,vec2] o vec1+ vec2			esegue la somma di vec1 e vec2
      Plus[vec1,-vec2] o vec1- vec2			esegue la differenza tra vec1 e vec2
      Times[m,vec] o m vec				esegue il prodotto dello scalare m per il vettore vec
      Dot[vec1,vec2] o vec1.vec2			esegue il prodotto scalare tra vec1 e vec2
      Dot[vec1,vec2] o vec1.vec2			esegue il prodotto scalare tra vec1 e vec2
      Cross[vec1,vec2] o vec1×vec2		esegue il prodotto vettoriale tra vec1 e vec2
      VectorQ[expr]					restituisce True se expr è un vettore
Vediamo ora degli esempi:

Unprotect[O, C];
O = {0, 0, 0}; i = {1, 0, 0}; j = {0, 1, 0}; k = {0, 0, 1}; 
    A = {1, 2, 3}; B = {-1, 2, 5}; m = 2.5;

MatrixForm[{{i . i, i . j, i . k}, {j . i, j . j, j . k}, {k . i, 
          k . j, k . k}}]

\(MatrixForm[{{i\[Cross]i, i\[Cross]j, i\[Cross]k}, {j\[Cross]i, 
            j\[Cross]j, j\[Cross]k}, {k\[Cross]i, k\[Cross]j, 
            k\[Cross]k}}] /. {O -> \*""(Overscript[0,  ->]) "", 
        i -> \*""(Overscript[i,  ->]) "", 
        j -> \*""(Overscript[j,  ->]) "", 
        k -> \*""(Overscript[k,  ->]) "", \(-i\) -> \*""(Overscript[(-i),  ->]) "", \(-j\) -> \*""(Overscript[(-j),  ->]) "", \(-k\) -> \*""-(Overscript[k,  ->]) ""}\)

{A . i, A . j, A . k}

A + B

A - B

m A

A . B

C = A\[Cross]B

Show[
        Graphics3D[{Line[{O, 3  i}], Text["i", i], Text["O", O], 
            Line[{O, 3  j}], Text["j", j], Line[{O, 3  k}], 
            Text["k", k], Line[{O, A}], Text["a", A], 
            Line[{O, {A . i, A . j, 0}}], Line[{A, {A . i, A . j, 0}}]}], 
        Boxed -> False];

Show[
        Graphics3D[{Line[{O, A}], Text["a", A], Text["O", O], 
            Line[{O, B}], Text["b", B], Line[{O, C}], Text["c", C]}], 
        Boxed -> False];
Clear[A, B, C, O, i, j, k, m];

9.9 Esempi di vettori: Posizione, velocità, accelerazione.

\(Si\ consideri\ un\ punto\ materiale\ P\ che\ si\ muove\ in\ un\ piano . \ Fissato\ un\ riferimento\ cartesiano\ la\ posizione\ di\)
P  può essere individuta dal vettore (Overscript[OP,  ->])  che congiunge l'origine del sistema con il punto P.
						(Overscript[r, ->])(t)=x(t) (Overscript[i, ->])+y (t)(Overscript[j, ->]) 
La velocità media vettoriale nell' 
        intervallo di tempo (Subscript[t, 1]),  
      (Subscript[t, 2]) è definita dalla relazione
					(Subscript[((Overscript[v,  ->]) ), m])=(((Overscript[r, ->])((Subscript[t, 2]))-(Overscript[r, ->])((Subscript[t, 1])))/((Subscript[t, 2]) - (Subscript[t, 1])))=((Δ (Overscript[r, ->]))/(Δ t))
\(mentre\ la\ velocità\ istantanea\ è\ definita\ da\)
				(Overscript[v,  ->]) =(lim_(Δt->0))((Δ (Overscript[r, ->]))/(Δ t))=((d(Overscript[r, ->]))/(d t))=((d x)/(d t)) (Overscript[i, ->])+((d y)/(d t)) (Overscript[j, ->]) =(Subscript[v, x])(t) (Overscript[i, ->])+(Subscript[v, y]) (t)(Overscript[j, ->]) 
In modo analogo si definisce l' 
        accelerazione istantanea
			(Overscript[a,  ->]) =(lim_(Δt->0))((Δ (Overscript[v, ->]))/(Δ t))=((d(Overscript[v, ->]))/(d t))=((d (Subscript[v, x]))/(d t)) (Overscript[i, ->])+((d (Subscript[v, y]))/(d t)) (Overscript[j, ->]) =(((d^2) x)/(d (t^2))) (Overscript[i, ->])+(((d^2) y)/(d (t^2))) (Overscript[j, ->])=(Subscript[a, x])(t) (Overscript[i, ->])+(Subscript[a, y]) (t)(Overscript[j, ->]) 

\(L' 
          equazione\ fondamentale\ della\ dinamica\ del\ punto\ materiale\ è\ quindi\ una\ equazione\ \(vettoriale : 
						\(F\& -> \)\)\  = \ m\ \(a\& -> \)\)
\(dove\ m\ è\ la\ massa\ del\ punto\ materiale\ \(a\& -> \)\ la\ sua\ accelerazione\ e\ \(F\& -> \)\ \ la\ forza\ che\ agisce\ su\ di\ essa . \ 
Nel\ caso\ del\ piano, \ 
        fissato\ un\ riferimento\ cartesiano, \ \ l' 
          equazione\ precedente\ si\ riconduce\ ad\ un\ sistema\) 
\(di\ due\ equazioni\ \(scalari : 
						F\_x\) = \(m\ a\_x = m\ \(x\& .. \) \((t)\)\)\)
						\(F\_y = \(m\ a\_y = m \( y\& .. \) \((t)\)\)\)

9.10 Esercizi.

Esercizio 1

Provare che		[(Overscript[A,  ->]) ×((Overscript[B,  ->]) ×(Overscript[C,  ->]) )] + [(Overscript[B,  ->]) ×((Overscript[C,  ->]) ×(Overscript[A,  ->]) )] + [(Overscript[C,  ->]) ×((Overscript[A,  ->]) ×(Overscript[B,  ->]) )] =0

Unprotect[C];
A = {Ax, Ay, Az};
B = {Bx, By, Bz};
C = {Cx, Cy, Cz};
Zero = {0, 0, 0};
A\[Cross](B\[Cross]C) + B\[Cross](C\[Cross]A) + 
        C\[Cross](A\[Cross]B) == Zero
Clear[A, B, C];

Esercizio 2

\(Si\ studi\ il\ moto\ di\ un\ proiettile\  . 
\((n . b .  : \ 
                in\ tal\ caso\ la\ forza\ è\ verticale\ ed\ il\ moto\ avvine\ in\ un\ piano\ verticale . \ Se\ si\ assume\ un\ sistema\ cartesiano

                  con\ l' asse\ y\ verticale\ orientato\ verso\ l' 
                  alto\ e\ l' 
                  asse\ x\ orizzontale\ risulta\ \ 
					F\_x = \(0\ \ 

              					F\_y = \(-m\)\ g\), \ 

            dove\ g\  = 
              9.8\ m/s\^2  è\ l' 
                accelerazione\ di\ gravità)\)\)

Clear[x, y]
{x[t_, v0_, θ_], 
        y[t_, v0_, θ_]} = {x[t], 
          y[t]} /. DSolve[{x''[t] == 
                0, y''[t] == -g, x[0] == 0, 
              y[0] == 0, x'[0] == v0 Cos[θ], y'[0] == 
                v0 Sin[θ]}, {x[t], y[t]}, t][[1]]
tt = Solve[y[t, v0, θ] == 0, t]

xg = x[t, v0, θ] /. tt[[2]] // FullSimplify

g = 9.8; v0 = 1; θ = π/3;
ParametricPlot[{x[t, v0, θ], y[t, v0, θ]}, {t, 0, 
          t /. tt[[2]]}, PlotRange -> All, 
        PlotPoints -> 100];
Clear[g, v0, θ, ]