Le leggi della Probabilita'.

Vogliamo ora affrontare il problema di come si combinino le probabilita' di due eventi indipendenti.

Si definiscono eventi indipendenti degli eventi che non hanno nessuna influenza reciproca, ovvero il verificarsi di uno dei due eventi non ha nessuna influenza sul verificarsi dell'altro.

Un esempio e' quello del lancio di due dadi. Il fatto che un dado si fermi sul 2 ad esempio non influenza in alcun modo la faccia su cui si fermera' il secondo dado.

Se gli eventi sono indipendenti le probabilita' si combinano in modo molto semplice.

La probabilita' di un evento x, ottenuto mediante la combinazione di due eventi indipendenti $x_1$ e $x_2$ e' data dalla somma delle probabilita':
 
 

\begin{displaymath}P(x) = P(x_1) + P(x_2) \qquad (1)\end{displaymath}

In realta' abbiamo gia' utilizzato questa relazione nel paragrafo precedente, quando abbiamo calcolato la probabilita' dell'evento pari. Questo e' ottenuto dalla probabilita' di avere 2 o 4 o 6. La probabilita' totale e' quindi la somma delle probabilita':
 
 

\begin{displaymath}P(pari) = P(2) + P(4) + P(6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6}\end{displaymath}

Calcoliamo ora la probabilita' di due eventi indipendenti che si verifichino simultaneamente.

La probabilita' di un evento x ottenuto mediante due eventi $x-1$ e $x_2$ che si verifichino simultaneamente e' data dal prodotto delle probabilita':
 
 

\begin{displaymath}P(x) = P(x_1) \times P(x_2) \qquad (2)\end{displaymath}

Ad esempio, lanciando due dadi, la probabilita' che si verifichi 1 su entrambi i dadi e' data da:
 
 

\begin{displaymath}P(1,1) = P(1) \times P(1) = \frac{1}{6}\times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\end{displaymath}

Una applicazione di queste leggi e' mostrata in figura 2.

Qui sono lanciati due dadi e l'istogramma mostra la distribuzione delle frequenze con cui si verificano le varie combinazioni ottenute sommando i valori dei risultati ottenuti dai due dati separatamente.

Le probabilita' delle varie combinazioni si ottengono utilizzando la (1) e la (2). Ogni evento e' formato dall'uscita simultanea di due valori dei due dadi, quindi la probabilita' di ogni singolo evento e' data dalla (2) ed e' sempre $ \frac{1}{36}$. Le varie combinazioni si possono pero' ottenere in diversi modi e, utilizzando la (1) possono essere combinate insieme.

Ad esempio, la probabilita' di avere 6 e' data da:
 
 

\begin{displaymath}P(6) = P(1,5) + P(2,4) + P(3,3) + P(5,1) + P(4,2) = 5 \times \frac{1}{36}\end{displaymath}