Scomposizione e componenti di un vettore

Un vettore è sempre scomponibile in altri vettori invertendo la procedura della somma, ovvero vogliamo trovare due o più vettori la cui somma fornisce il valore di partenza. Quando abbiamo questa esigenza si cerca di scomporre il vettore dato lungo delle direzioni note quali ad esempio gli assi cartesiani.
Definiamo come componenti di un vettore le sue proiezioni sugli assi di riferimento. Un esempio è in fig. 8 dove sono mostrati un vettore e le sue componenti lungo gli assi x e y.

Figure: Scomposizione di un vettore $\vec c$ e sue componenti.

In base alla scomposizione del vettore $\vec c$ in fig. 8 si avrà che $\vec c = c_{x} \hat i + c_{y} \hat j$ ed inoltre $\vert\vec c\vert=\sqrt{{c_x}^2 +{c_y}^2}$.
La decomposizione ci permette di maneggiare le operazioni di somma e differenza tra vettori in modo più comodo ed evitando la procedura grafica:
infatti se scomponiamo tutti i termini di una somma nelle componenti lungo gli assi si avrà $\vec c= \vec a + \vec b = (a_x \hat i + a_y \hat j) + (b_x \hat i + b_y \hat j) = (a_x + b_x) \hat i + (a_y + b_y) \hat j$.
Quindi si che $\bf\vec c= \vec a + \vec b \Leftrightarrow \vec c= (a_x + b_x) \hat i + (a_y + b_y)$ ovvero si ottiene sommando direttamente le rispettive componenti. Analogamente per la differenza si otterrà che $\bf\vec c= \vec a - \vec b \Leftrightarrow \vec c= (a_x - b_x) \hat i + (a_y - b_y)$.